Demostración del teorema de Pitágoras en papel recortado

En esta ocasión veremos una demostración algo practica, útil para mostrar a estudiantes de manera física como funciona el teorema de pitágoras.

  1. El primer paso es trazar en una hoja de papel un triangulo rectángulo, no importa el tamaño, solo aseguren de que quepan los cuadrados en el mismo papel.
    teoremadepitagoras1
  2. Posteriormente traza tres cuadrados, uno en cada lado del triangulo, de tal manera que queden 2 con medida de los catetos y un ultimo con media de la hipotenusa.
    teoremadepitagoras2
  3. Ahora, traza las diagonales del cuadrado mediano, en este caso seria el cuadrado A.
    teoremadepitagoras3
  4. Traza dos rectas paralelas a los lados del cuadrado B, tales que pasen por el punto de intersección de las diagonales del punto cuatro.
    teoremadepitagoras4
  5. Bien ahora a recortar, comencemos por el cuadrado C.
    teoremadepitagoras5
  6. Ahora es turno del Cuadrado A. Recórtalas por donde pasaron las paralelas.
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  7. Ahora por ultimo acopla las distintas partes para que observes como se amoldan exactamente en el cuadrado grande B.
    teoremadepitagoras7

Una manera rápida de demostrar de manera física el teorema de pitagoras, los veré mas adelante con una demostración mas formal.

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Ejercicios resueltos

Un corolario o resultado inmediato del teorema de Pitágoras es poder saber el tamaño de un lado del triangulo rectángulo sabiendo los tamaños de los otros dos lados. Si tomamos en cuenta la figura

triangulo_rectangulo

Entonces la expresión de cada lado dependiendo de los otros dos es:

c=\sqrt{a^2+b^2} a=\sqrt{c^2-b^2} b=\sqrt{c^2-a^2}.

Por lo tanto podemos calcular un lado de un triangulo rectángulo, teniendo en cuenta los otros dos, como veremos acontinuación en los siguientes ejercicios resueltos.

    1. Determina la longitud de la hipotenusa dado que los catetos del triangulo miden 3 m y 4 m respectivamente.
      ejerciciopitagoras1 Aplicando la formula de manera directa, tenemos:c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}

      por lo tanto

      c=\sqrt{25}=5.

    2. Si la Hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 5 m y un cateto 3 m, ¿Cuanto mide el otro cateto?.
      ejerciciopitagoras2 De manera similar, podemos aplicar directamente la formula del teorema de pitágoras, por lo que:a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.
    3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera esta separada 6 m de la pared. ¿A que altura esta la escalera sobre la pared?.
      ejerciciopitagoras3 Si observamos bien, observamos que es un sencillo calculo de un cateto disfrazado en un problema complejo, cuya solucion obtenemos directamente de:a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.
    4. Encuentra el área del siguiente triangulo equilatero.
      ejerciciopitagoras4 Primero necesitamos la altura, apliquemos la formula:h=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=8.66.

      Por lo tanto el área del triangulo es

      \frac{b*h}{2}=\frac{(2*5)*8.66}{2}=43.30

    5. Encuentra el área del pentágono regular.
      ejerciciopitagoras5 Primero necesitamos calcular el apotema, es decir:a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.

      Y sustituyendo en la formula del área, obtenemos:

      A=\frac{f*a}{2}=\frac{(6*5)*4}{2}=60.

Espero que te hayan servido estos pequeños ejercicios resueltos para comprender el teorema de Pitágoras. No olvides comentar tus dudas.

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Definición del teorema de pitágoras

El teorema de Pitágoras es actualmente uno de los teoremas mas famosos, pues estable una útil relación entre los catetos (lados menores del triangulo) a, b e hipotenusa (lado mayor) c de un triangulo rectángulo.

triangulo_rectangulo

Dicha relación establece que la suma de los cuadrados de los Catetos de longitud a y b es igual al cuadrado de la  Hipotenusa de longitud c, es decir:

a^2+b^2=c^2.

Y en propias palabras de Pitágoras:

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

Una de las demostración fácil del teorema de Pitágoras es:

  1. Crear un cuadrado de área c^2, para ello colocaremos replicas del triangulo como se ve en la imagen (Observemos que el cuadrito central esta dentro del área c^2).
  2. Podemos observar que si bajamos un triangulo como en la tercera imagen superior completamos un rectángulo.
  3. De manera similar bajamos el otro triangulo par completar otro rectángulo.
  4. Observamos que del lado izquierdo tenemos un cuadrado de área a^2, un lado te lo da el triangulo, mientras que el otro el mismo triangulo, antes de bajarlo, observa que dejamos puesta su sombra.
  5. Análogo el lado derecho tiene área b^2, por lo tanto si sumamos obtenemos la igualdad del teorema.

demostracion teorema de pitagoras

De esta manera tenemos una regla de correspondencia de gran utilidad, que veremos aplicada mas adelante, con ejercicios resueltos y mas.

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